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Group 2

 

Matrix analysis and optimization
 

행렬해석과 최적화이론

 

 

Core Researchers : Sangwoon Yun (윤상운), Yongdo Lim (임용도), Suk Moon Huh (허석문),

                               Yoon Mo Jung (정윤모)

  

 

    고전해석학에서 중요한 역할을 하는 실수의 개념은 행렬의 비가환 해석학분야로 자연스럽게 확장된다. 행렬이론은 순수 및 응용수학 분야뿐만 아니라 수치적 계산법을 바탕으로 하는 경제, 의⋅공학, 빅데이터 및 기계학습 분야에서 필요불가결하게 그리고 핵심적으로 나타나는 중요한 수학이론 중 하나이다. 최근 국제적으로 급부상하고 있는 행렬관련 중요 연구 분야는 대용량 행렬 데이터 분석과 계산, 행렬 데이터 공간의 위상 및 기하학 구조 연구와 무게중심이론, 행렬텐서 분해법 등이 있다. 이러한 연구 분야들에서 행렬 데이터의 구조 해석과 효율적 계산을 위한 최적화 이론들이 필요불가결하게 등장하고 있으며 반대로 이러한 응용성으로 말미암아 행렬관련 순수이론들이 발전되어 왔다. 특히, 빅데이터 해석, 무선네트워크 위치계산, 데이터영상화, 인터넷 토모그라피 등의 IT분야와 3차원 분자구조 및 단백질구조 예측, 유전자 네트워크분석 등 BT 디자인분야 등에서 행렬분해법과 계산법, 그리고 최적화 이론이 핵심 기법으로 사용되고 있으며 수학적 이론으로서 확실하게 자리매김 되고 있다. 이에 초기 연구로서 행렬 데이터 기반 최적화 모델링 이론개발 및 이를 수치적으로 구현할 수 있는 새로운 효율적인 알고리듬을 디자인하고, 계산속도와 정확성을 높이기 위하여 발전된 분석을 통해 알고리듬 패키지개발을 추진할 예정이다. 또한 빅데이터, 기계학습, 영상처리에 응용하고 이들 분야에 필요한 수학이론 및 방법론을 연구할 예정이다. 한편, 데이터의 행렬적 관점에서의 특성과 행렬 데이터의 위상 및 기하적 구조(행렬 다양체)를 이용한 수학적 최적화 모델을 고안 및 분석하고, 새롭고 효율적인 최적화 방법에 대한 이론연구가 매우 중요하다. 이는 선형적 평면기하의 방법론의 한계를 벗어나지 못한 기존 데이터 해석 및 계산법 연구에 돌파구를 마련 할 수 있기 때문이다.

 

  The concept of the real numbers which has a very important role in classical analysis can be naturally extended to the matrix theory of noncommutative analysis. Matrix theory is one of the most significant and crucial mathematical theory which essentially and necessarily occurs in economics, medicine, engineering, the big data analysis, machine learning based on numerical analysis. Recently arising important research fields related to the matrix theory includes the computation and analysis of mass matrix data, the study of the topology and geometric structure of matrix manifold, the theory of the center of mass and the matrix tensor decomposition. The optimization theory takes a crucial part for the efficient computation and the structure analysis in such studies. On the other hand, such applications lead the development of the pure mathematical theory related to matrices. Thus, as an initial step of our research, we plan to develop the theory of optimization modeling based on the matrix data and to design a new and efficient algorithm which can numerically implement the optimization modeling theory, and to develop an algorithm package which reduces the computation time and increases the accuracy. Furthermore, we plan to develop a mathematical theory and methodology which are needed in the analysis of the big data, machine learning and the image processing. Meanwhile, the features in the perspective of data as matrices, and the topological and geometric structure of the matrix data should be studied for developing an efficient optimization method, since we believe that this approach will become a breakthrough in the research of the existing data analysis and computation method which cannot avoid the limit of the planar geometric methodology.