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Group 3

Algorithmic number theory
 

알고리드믹 수론

 

 

Core Researchers : Chang Heon Kim (김창헌), Soonhak Kwon (권순학), Nhan Phu Chung

 

 

   보형형식은 수론이나 조합론, 쌍곡기하학, 에르고딕 이론, 수리물리 등 다양한 분야에서 강력한 도구로 사용되어 왔다. 이러한 유용성 때문에 고전적인 보형형식을 포함하는 새로운 이론의 필요성이 오랫동안 요구되어 왔다. 목보형형식 및 약한 조화 Maass 형식은 이러한 요구에 부합하는 보형형식으로 아직 밝혀지지 않은 많은 현상들을 설명할 수 있는 중요한 도구이다. 최근 필즈상을 수상한 테렌스 타오, 린덴스트라우스 등은 에르고딕 이론을 이용하여 수론의 고전적인 문제들을 풀어 에르고딕 이론과 수론이 밀접하게 관련돼 있음을 입증하였고, 이 때 보형곡선 및 보형형식이 중요한 도구로 사용되었다. 소수의 분포, Littlewood 추측, Sarnak 추측 등은 에르고딕 이론과 수론과의 신비한 관련성을 보여주는 예이다. 더욱이 유한체 위에서 보형곡선 및 대수곡선에 관한 연구는 암호 및 부호이론 연구 분야 전반에 커다란 파급 효과를 끼쳐 이에 관한 연구들은 정보통신 및 데이터 보안기술의 핵심이론이 될 수 있다.

 

   The modular forms have been used as a strong tool in number theory, hyperbolic geometry, ergodic theory, mathematical physics, and many other fields. Due to such usefulness, a new theory including the classical modular forms has been required for a long time. Mock modular forms and weak harmonic Maass forms satisfy such requirements and hence, they serve as an important tool to explain many phenomena which have not been discovered yet. TerenceTao and Lindenstrauss, who won the Fields medal in recent years, proved the close relation between the number theory and the ergodic theory by using the ergodic theory to solve classical problems in number theory and the modular curve and modular forms did significant role in the procedure. Among the examples showing the mysterious relation between the ergodic theory and number theory are the distribution of the prime numbers, Littlewood conjecture, Sarnak conjecture, and so on. Moreover, the research on the modular curves and algebraic curves over finite fields will effect on the development of the cryptography and the coding theory which are the core theory in the information and communication technology, cyber and data security.